專題
10
概率與統計
1
.
【
2019
年高考全國Ⅲ卷理數】
《西游記》
《三國演義》
《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶,并稱
為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況,隨機調查了
100
位學生,其中
閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有
90
位,閱讀過《紅樓夢》的學生共有
80
位,閱讀過《西游
記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有
60
位,則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的
估計值為
A
.
0.5
B
.
0.6
C
.
0.7
D
.
0.8
【答案】
C
【解析】由題意得,閱讀過《西游記》的學生人數為
90
-
80+60=70
,則其與該校學生人數之比為
70÷100=0.7
.故選
C
.
【名師點睛】本題考查抽樣數據的統計,滲透了數據處理和數學運算素養.采取去重法,利用轉化與化
歸思想解題.
2
.
【
2019
年高考全國Ⅱ卷理數】
演講比賽共有
9
位評委分別給出某選手的原始評分,
評定該選手的成績時,
從
9
個原始評分中去掉
1
個最高分、
1
個最低分,
得到
7
個有效評分.
7
個有效評分與
9
個原始評分相比,
不變的數字特征是
A
.中位數
B
.平均數
C
.方差
D
.極差
【答案】
A
【解析】設
9
位評委評分按從小到大排列為
1
2
3
4
8
9
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
.
則①原始中位數為
5
x
,
去掉最低分
1
x
,
最高分
9
x
后剩余
2
3
4
8
x
x
x
x
?
?
?
?
,
中位數仍為
5
x
,
A
正確;
②原始平均數
1
2
3
4
8
9
1
(
)
9
x
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
,后來平均數
2
3
4
8
1
(
)
7
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
,平均數
受極端值影響較大,
?
x
與
x
?
不一定相同,
B
不正確;
③
2
2
2
2
1
1
1
[(
)
(
)
(
)
]
9
q
S
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
,
2
2
2
2
2
3
8
1
[(
)
(
)
(
)
]
7
s
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
由②
易知,
C
不正確;
④原極差
9
1
x
x
?
?
,后來極差
8
2
x
x
?
?
,顯然極差變小,
D
不正確.故選
A
.
3
.
【
2019
年高考浙江卷】設
0
<
a
<
1
,則隨機變量
X
的分布列是
X
0
a
1
P
1
3
1
3
1
3
則當
a
在(
0
,
1
)內增大時,
A
.
(
)
D
X
增大
B
.
(
)
D
X
減小
C
.
(
)
D
X
先增大后減小
D
.
(
)
D
X
先減小后增大
【答案】
D
【分析】研究方差隨
a
變化的增大或減小規律,常用方法就是將方差用參數
a
表示,應用函數知識求解
.
本題根據方差與期望的關系,將方差表示為
a
的二次函數,二次函數的圖象和性質解題
.
題目有一定綜合
性,注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.
【解析】方法
1
:由分布列得
1
(
)
3
a
E
X
?
?
,
則
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
(
)
(
0)
(
)
(
1)
(
)
3
3
3
3
3
3
9
2
6
a
a
a
D
X
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
則當
a
在
(0,1)
內增大時,
(
)
D
X
先減小后增大.故選
D
.
方法
2
:則
2
2
2
2
2
1
(
1)
2
2
2
2
1
3
(
)
(
)
(
)
0
[(
)
]
3
3
9
9
9
2
4
a
a
a
a
D
X
E
X
E
X
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
則當
a
在
(0,1)
內增大時,
(
)
D
X
先減小后增大.故選
D
.
【名師點睛】易出現的錯誤有,一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟,無從著手;二是計
算能力差,不能正確得到二次函數表達式.
4
.
【
2019
年高考江蘇卷】已知一組數據
6
,
7
,
8
,
8
,
9
,
10
,則該組數據的方差是
______________
.
【答案】
5
3
【解析】由題意,該組數據的平均數為
6
7
8
8
9
10
8
6
?
?
?
?
?
?
,
所以該組數據的方差是
2
2
2
2
2
2
1
5
[(6
8)
(7
8)
(8
8)
(8
8)
(9
8)
(10
8)
]
6
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
5
.
【
2019
年高考全國Ⅱ卷理數】我國高鐵發展迅速,技術先進.經統計,在經停某站的高鐵列車中,有
10
個車次的正點率為
0.97
,有
20
個車次的正點率為
0.98
,有
10
個車次的正點率為
0.99
,則經停該站高鐵
列車所有車次的平均正點率的估計值為
______________
.
【答案】
0.98